ЭФФЕКИВНЫЙ ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА            
 
   
(МЕТОД ХУАНГА ЛИТЦЕНБЕРГЕРА)          
             
             
Метод Хуанга Литценбергера позволяет на математически найти эффективное множество портфелей
УСЛОВИЯ
Нет ограничений по позициям в портфеле 
Можно открывать как длинные (покупать), так и короткие (продавать) позиции по акциям
Мы используем недельные даные, поэтому ожидаемый доход и риск измеряются за неделю.
ШАГ 1. Загрузить ценовую информацию по акциям   ШАГ 1  
Вначале мы загружаем данные по ценам на акции
В данной модели я использовал акции из четырех различиных секторов (чтобы портфель был диверсифицированный)
По построим эффективный портфель по недельным данным. Это означает, что мы попытаемся найти портфель с заданной недельной доходностью и минимальными недельными рисками 
(минимальное стандартное отклонение)
APPLE CITI GROUP GENERAL ELECTRIC EXXON MOBIL
26.03.2010 230,9 26.03.2010 4,31 26.03.2010 18,34 26.03.2010 66,54
02.04.2010 235,97 2,2% 02.04.2010 4,18 -3,0% 02.04.2010 18,33 -0,1% 02.04.2010 67,61 1,6%
09.04.2010 241,79 2,5% 09.04.2010 4,55 8,9% 09.04.2010 18,52 1,0% 09.04.2010 68,76 1,7%
16.04.2010 247,4 2,3% 16.04.2010 4,56 0,2% 16.04.2010 18,97 2,4% 16.04.2010 67,93 -1,2%
23.04.2010 270,83 9,5% 23.04.2010 4,86 6,6% 23.04.2010 19,07 0,5% 23.04.2010 69,24 1,9%
30.04.2010 261,09 -3,6% 30.04.2010 4,37 -10,1% 30.04.2010 18,86 -1,1% 30.04.2010 67,77 -2,1%
07.05.2010 235,86 -9,7% 07.05.2010 4 -8,5% 07.05.2010 16,88 -10,5% 07.05.2010 63,7 -6,0%
14.05.2010 253,82 7,6% 14.05.2010 3,98 -0,5% 14.05.2010 17,64 4,5% 14.05.2010 63,6 -0,2%
21.05.2010 242,32 -4,5% 21.05.2010 3,75 -5,8% 21.05.2010 16,42 -6,9% 21.05.2010 60,88 -4,3%
28.05.2010 256,88 6,0% 28.05.2010 3,96 5,6% 28.05.2010 16,35 -0,4% 28.05.2010 60,46 -0,7%
04.06.2010 255,965 -0,4% 04.06.2010 3,79 -4,3% 04.06.2010 15,71 -3,9% 04.06.2010 59,525 -1,5%
11.06.2010 253,51 -1,0% 11.06.2010 3,88 2,4% 11.06.2010 15,56 -1,0% 11.06.2010 61,86 3,9%
18.06.2010 274,074 8,1% 18.06.2010 4,01 3,4% 18.06.2010 15,95 2,5% 18.06.2010 63,1 2,0%
25.06.2010 266,7 -2,7% 25.06.2010 3,94 -1,7% 25.06.2010 14,91 -6,5% 25.06.2010 59,1 -6,3%
02.07.2010 246,94 -7,4% 02.07.2010 3,79 -3,8% 02.07.2010 13,88 -6,9% 02.07.2010 56,57 -4,3%
09.07.2010 259,62 5,1% 09.07.2010 4,04 6,6% 09.07.2010 14,95 7,7% 09.07.2010 58,78 3,9%
16.07.2010 249,9 -3,7% 16.07.2010 3,9 -3,5% 16.07.2010 14,55 -2,7% 16.07.2010 57,96 -1,4%
23.07.2010 259,94 4,0% 23.07.2010 4,02 3,1% 23.07.2010 15,71 8,0% 23.07.2010 59,72 3,0%
30.07.2010 257,25 -1,0% 30.07.2010 4,1 2,0% 30.07.2010 16,12 2,6% 30.07.2010 59,68 -0,1%
06.08.2010 260,091 1,1% 06.08.2010 4,06 -1,0% 06.08.2010 16,45 2,0% 06.08.2010 61,97 3,8%
13.08.2010 249,1 -4,2% 13.08.2010 3,88 -4,4% 13.08.2010 15,38 -6,5% 13.08.2010 59,91 -3,3%
20.08.2010 249,64 0,2% 20.08.2010 3,75 -3,4% 20.08.2010 15,03 -2,3% 20.08.2010 58,89 -1,7%
27.08.2010 241,62 -3,2% 27.08.2010 3,76 0,3% 27.08.2010 14,71 -2,1% 27.08.2010 59,8 1,5%
03.09.2010 258,77 7,1% 03.09.2010 3,91 4,0% 03.09.2010 15,3925 4,6% 03.09.2010 61,32 2,5%
10.09.2010 263,41 1,8% 10.09.2010 3,91 0,0% 10.09.2010 15,98 3,8% 10.09.2010 61,2 -0,2%
17.09.2010 275,37 4,5% 17.09.2010 3,95 1,0% 17.09.2010 16,29 1,9% 17.09.2010 60,78 -0,7%
24.09.2010 292,32 6,2% 24.09.2010 3,904 -1,2% 24.09.2010 16,66 2,3% 24.09.2010 61,75 1,6%
01.10.2010 282,52 -3,4% 01.10.2010 4,09 4,8% 01.10.2010 16,36 -1,8% 01.10.2010 62,54 1,3%
08.10.2010 294,07 4,1% 08.10.2010 4,19 2,4% 08.10.2010 17,12 4,6% 08.10.2010 64,38 2,9%
15.10.2010 314,74 7,0% 15.10.2010 3,95 -5,7% 15.10.2010 16,3 -4,8% 15.10.2010 65,19 1,3%
22.10.2010 307,47 -2,3% 22.10.2010 4,11 4,1% 22.10.2010 16,055 -1,5% 22.10.2010 66,34 1,8%
ШАГ 2. Найти ожидаемый доход и стандартное отклонение для каждой акции   ШАГ 2  
Ниже вы видите ключеые входные параметры модели
Таблица 1. Ключевые входные параметры
  Ожидаемый доход Стандартное отклонение Веса
  e d w
APPLE 1,1% 4,9% 114,34%
CITI GROUP -0,1% 4,6% -9,76%
GENERAL ELECTRIC -0,3% 4,5% -124,80%
EXXON MOBIL 0,0% 2,8% 120,21%
столбец-w-вначале должна быть пустой. Мы залинкуем ее в ШАГе 11 
e - ожидаемая доходность акции. Равна среднему недельному доходу за выбраный период
d - стандартное отклонение акции, которое является измерителем показателя риска. Для его расчета я использую функцию STDEV (детали по данной формуле можно найти в меню помощи Excel)
w - вес (доля) акции в портфеле
Когда мы строим модель в первый раз, необходимо оставить столбецw пустойy (позже мы ее привяжем к формуле)
ШАГ 3. Рисуем два единичных вектора   ШАГ 3  
Эти вектора нужны нам для промежуточных расчетов
Первый: количество столбцов = 1; количество рядов = 4 (по количеству акций)
Второй: количество столбцов = 4; количество рядов = 1
Все значения в векторе равны 1
Единичный вектор
u uT
1 1 1 1 1
1
1
1
ШАГ 4. Рисуем две транспонированные матрицы для ожидаемых доходов и весов   ШАГ 4  
В таблице 1 (ШАГ 2) с входными данными есть два столбца: e (ожидаемая доходность) и w (веса)
Простым языком транспонировать значите просто сделать столбцы рядами и наоборот 
Так что просто сделайте ссылки и этих дух матриц в таблицу 1
Мы добавляем букву "T" в имена транспонированных матриц, и таким образом мы получаем wT и eT
Транспонированные матрицы
APPLE CITI GROUP GENERAL ELECTRIC EXXON MOBIL
wT 114,34% -9,76% -124,80% 120,21%
APPLE CITI GROUP GENERAL ELECTRIC EXXON MOBIL
eT 1,1% -0,1% -0,3% 0,0%
ШАГ 5. Создаем ковариационную матрицу   ШАГ 5  
Ковариация определяет зависимость динамики одной акции от другой
В ковариационной матрице мы находим зависимости между всеми акциями
Мы используем функцию КОВАР в excel  We use COVAR excel (смотрите помощь в excel, если хотите узнать о функции больше деталей)
Назовем эту ковариационную матрицу V
,
V Ковариационная матрица
APPLE CITI GROUP GENERAL ELECTRIC EXXON MOBIL
APPLE 0,00234 0,00119 0,00152 0,00084
CITI GROUP 0,00119 0,00206 0,00125 0,00081
GENERAL ELECTRIC 0,00152 0,00125 0,00195 0,00092
EXXON MOBIL 0,00084 0,00081 0,00092 0,00077
ШАГ 6. Определяем риск (стандартное отклонение) портфеля   ШАГ 6  
Вот формула дисперсии портфеля (стандатное отклонение в квадрате): 
(взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory )
В матрицчной форме эта формула выглядит так =wT x V x w
В экселе вы можете записать эту формулу так =МУМНОЖ(МУМНОЖ( wT , V ), w )
А вот и сам расчет -> 0,00227547
ШАГ 7. Найдем обратную матрицу   ШАГ 7  
Далее мы находим матрицу, обратную матрице V matrix ( назовем ее матрица  V (-1) )
В excel мы используем функцию МОБР для этих целей
выделите поле 4 на 4  (эта ваша будущая обратная матрица)
Начинайте вводить формулу (ячейки должны оставаться выделенными: =МОБР( Ковариационная матрица V)
Нажмите Ctrl+Shift+Enter (это важно, чтобы вы нажимали именно комбинаци этих клавиш, не просто Enter)
Вот что получается:
V(-1)
910,94 -112,04 -525,27 -241,54
-112,04 907,61 -230,82 -555,64
-525,27 -230,82 1579,25 -1071,87
-241,54 -555,64 -1071,87 3412,62
 
ШАГ 8. Определим 4 скалярных величины   ШАГ 8  
Для нахождения эффективного портфеля Хуанг и Литценбергер определяют 4 скалярные величины: A, B, C и D
 
Действие 1. Расчет  величины A
A=uT x V(-1) x e
Во-первых мы перемножаем матрицы uT (единичная матрица) и V(-1) (обратная ковариационная матрица)
Необходимо выделить 4 ячейки в рад и написать формулу:   =МУМНОЖ( матрица V(-1), матрица uT)
Затем нажимаем Ctrl+Shift+Enter
You get this:
uT x V(-1)
32,09 9,11 -248,72 1543,57
Во-вторых, мы умножаем полученный результат на вектор e (ожидаемые доходности)
В ячейке мы записываем формулу:  =МУМНОЖ(результат предыдущих расчетов(uT х V(-1), вектор e (ожидаемые доходности))
Жмем Enter
Вот значение:
A= 1,6461
Действие 2. Расчет величины B
B=eT x V(-1) x e
Во-первых, мы умножаем вектор eT на матрицу V(-1)
Выделите 4 ячейки в ряду и введие формулу:  =МУМНОЖ( V(-1) , eT ) и нажмите Ctrl+Shift+Enter
Вот что вы получите:
eT x V(-1)
11,60 -1,07 -11,27 2,39
Во-вторых, мы умножаем полученный результат (eT*V(-1) на вектор e (ожидаемая доходность)
Выберите ячейку и введите формулу  =МУМНОЖ(полученное значение eT x V(-1), вектор e (ожидаемая доходность) ) и нажмите Enter
Вот что получается:
B= 0,1649
Действие 3. Расчет величины C
C=uT x V(-1) x u
Во-первых,  мы умножаем матрицу V(-1) на вектор uT (транспонированный единичный вектор)
Выделите 4 ячейки и введите формулу:  =МУМНОЖ( V(-1), uT) и нажмите Ctrl+Shift+Enter
Вот результат:
uT x V(-1)
32,09 9,11 -248,72 1543,57
Во-вторых, мы умножаем полученный результат ( uT x V(-1) ) на вектор u (единичный вектор)
Выберите ячейку и введите формулу:  =МУМНОЖ( tполученный результат (uT x V(-1)) , вектор u) и нажмите Enter
Вот что вы получите:
C= 1336,0388
Действие 4. Расчет величины D
D=B x C-A x A
Выберите ячейку и введите формулу, подставляя A, B, C:    =B x C-A x A
D 217,5371
ШАГ 9. Расчет промежуточных коэффициентов m и l   ШАГ 9  
Действие 1. Расчет коэффициента m m
m=V(-1) x u 32,09
9,11
Умножаем матрицу V(-1) на вектор u --------------> -248,72
Выделите 4 ячейки в столбце и введите формулу:  =МУМНОЖ( V(-1), u ) и нажмите Ctrl+Shift+Enter 1543,57
Действие 2. Расчет коэффициент l l
l=V(-1) x e 11,599
-1,067
Мы умножаем матрицу V(-1) на векторr e --------------> -11,271
Выделите 4 ячейки в столбце и введите формулу:  =МУМНОЖ ( V(-1), e ) и нажмите Ctrl+Shift+Enter 2,385
 
ШАГ 10. Расчет координат портфеля   ШАГ 10  
g и h являются двумя точками на эффективной границе
g - это портфель с минимальным ожидаемым доходом
h - это портфель с максимальным ожидаемым доходом
g= (B x m - A x l) / D 1 2 3 4
Рассчитаем B x m Рассчитаем A x l B x m - A x l g e g*e
Вот расчет 5,289 19,093 -13,803 APPLE -6,35% 1,1% -0,07%
ШАГ за ШАГом 1,501 -1,756 3,257 CITI GROUP 1,50% -0,1% 0,00%
-41,001 -18,553 -22,448 GENERAL ELECTRIC -10,32% -0,3% 0,04%
254,457 3,926 250,531 EXXON MOBIL 115,17% 0,0% 0,03%
Доходность портфеля= 0,00%
1 2 3 4
h = (C x l - A x m) / D C x l Am C x l-A x m h e h*e
15496,682 52,816 15443,866 APPLE 70,99 1,1% 0,764
Вот расчет -1425,126 14,989 -1440,115 CITI GROUP -6,62 -0,1% 0,004
ШАГ за ШАГом -15058,901 -409,409 -14649,492 GENERAL ELECTRIC -67,34 -0,3% 0,232
3186,568 2540,827 645,741 EXXON MOBIL 2,97 0,0% 0,001
Доходность портфеля= 100%
             
ШАГ 11. Находим эффективный портфель для заданной доходности   ШАГ 11  
Введите ожидаемую доходность портфеля
Совет: пусть эта цифра будет не слишком большой, иначе вам придется увеличить леверидж
Portfolio return= 1,7%
Это транспонированная матрица w. Просто сделайте ряд из столбца
Доходность портфеля g h h*T g + hT = w wT      
1,70% -6,3% 7099,4% 120,7% 114,3% 114,3% -9,8% -124,8% 120,2%
1,70% 1,5% -662,0% -11,3% -9,8%
1,70% -10,3% -6734,3% -114,5%
-124,8%
1,70% 115,2% 296,8% 5,0% 120,2%
      100,0%
Here are the weights of the stocks in the efficient portfolio ОЧЕНЬ ВАЖНО! 
Сделайте ссылки из столбца g + h x T = w в столбец w (веса) в таюлице 1, ШАГ 2
Расчет риска портфеля
Для нахождения риска мы должны перемножить три матрицы:  V, w и wT
Выберите ячейку и введите формулу:  =МУМНОЖ(МУМНОЖ(wT, V), w) и нажмите Enter
Риск портфеля= 0,23%
ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОРТФЕЛЬ  
APPLE   114,3%
CITI GROUP -9,8%
GENERAL ELECTRIC -124,8%
EXXON MOBIL 120,2%
Доходность портфеля= 1,70%
Риск портфеля= 0,23%
ШАГ 12. Расчет эффективного портфеля с заданным количеством денег   ШАГ 12  
Введите количество денег в вашем портфеле
Деньги= 150 000,00 $
Компания Доля в портфеле (%) Доля в портфеле ($) Последняя цена ($) Количество акций Позиция
APPLE 114,3% 171 517 307,47 558 long
CITI GROUP -9,8% -14 635 4,11 -3 561 short
GENERAL ELECTRIC -124,8% -187 202 16,055 -11 660 short
EXXON MOBIL 120,2% 180 320 66,34 2 718 long
ШАГ 13. Рисование эффективной границы   ШАГ 13  
Рисование эффективной границы, используя метод Хуанга Литценбергера, в excel достаточно просто. Нам просто необходимо сделать несколько итераций, 
чтобы найти точки на эффективной кривой
Чтобы найти несколько точек (координат) мы берем нашу заданную доходность портфеля, делим ее на 10 и умножаем на 1, 2, 3
На самом деле можно брать любое значение доходности портфеля. Мы применяем вышеописанный механизм просто для удобства
Точка   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ожидаемая доходность 0,2% 0,3% 0,5% 0,7% 0,9% 1,0% 1,2% 1,4% 1,5% 1,7%
Затем мы делаем вычисления из ШАГа 11 для всех точек
Ожидаемая доходность Риск
T g h h*T g + hT wT
0,17% -6,3% 7099,4% 12,1% 5,7% 5,7% 0,4% -21,8% 115,7% 0,0750%
0,17% 1,5% -662,0% -1,1% 0,4%
0,17% -10,3% -6734,3% -11,4% -21,8%
0,17% 115,2% 296,8% 0,5% 115,7%
          100,0%        
g h h*T g + hT wT
0,34% -6,3% 7099,4% 24,1% 17,8% 17,8% -0,8% -33,2% 116,2% 0,0777%
0,34% 1,5% -662,0% -2,3% -0,8%
0,34% -10,3% -6734,3% -22,9% -33,2%
0,34% 115,2% 296,8% 1,0% 116,2%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
0,51% -6,3% 7099,4% 36,2% 29,9% 29,9% -1,9% -44,7% 116,7% 0,0840%
0,51% 1,5% -662,0% -3,4% -1,9%
0,51% -10,3% -6734,3% -34,3% -44,7%
0,51% 115,2% 296,8% 1,5% 116,7%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
0,68% -6,3% 7099,4% 48,3% 41,9% 41,9% -3,0% -56,1% 117,2% 0,0939%
0,68% 1,5% -662,0% -4,5% -3,0%
0,68% -10,3% -6734,3% -45,8% -56,1%
0,68% 115,2% 296,8% 2,0% 117,2%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
0,85% -6,3% 7099,4% 60,3% 54,0% 54,0% -4,1% -67,6% 117,7% 0,1073%
0,85% 1,5% -662,0% -5,6% -4,1%
0,85% -10,3% -6734,3% -57,2% -67,6%
0,85% 115,2% 296,8% 2,5% 117,7%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
1,020% -6,3% 7099,4% 72,4% 66,1% 66,1% -5,3% -79,0% 118,2% 0,1242%
1,020% 1,5% -662,0% -6,8% -5,3%
1,020% -10,3% -6734,3% -68,7% -79,0%
1,020% 115,2% 296,8% 3,0% 118,2%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
1,19% -6,3% 7099,4% 84,5% 78,1% 78,1% -6,4% -90,5% 118,7% 0,1447%
1,19% 1,5% -662,0% -7,9% -6,4%
1,19% -10,3% -6734,3% -80,1% -90,5%
1,19% 115,2% 296,8% 3,5% 118,7%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
1,36% -6,3% 7099,4% 96,6% 90,2% 90,2% -7,5% -101,9% 119,2% 0,1688%
1,36% 1,5% -662,0% -9,0% -7,5%
1,36% -10,3% -6734,3% -91,6% -101,9%
1,36% 115,2% 296,8% 4,0% 119,2%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
1,53% -6,3% 7099,4% 108,6% 102,3% 102,3% -8,6% -113,4% 119,7% 0,1964%
1,53% 1,5% -662,0% -10,1% -8,6%
1,53% -10,3% -6734,3% -103,0% -113,4%
1,53% 115,2% 296,8% 4,5% 119,7%
      100,0%
g h h*T g + hT wT
1,70% -6,3% 7099,4% 120,7% 114,3% 114,3% -9,8% -124,8% 120,2% 0,2275%
1,70% 1,5% -662,0% -11,3% -9,8%
1,70% -10,3% -6734,3% -114,5% -124,8%
1,70% 115,2% 296,8% 5,0% 120,2%
      100,0%
А вот и наша эффектиная граница
ось-x ось-y
Доходность Риск
1 0,17% 0,0750%
2 0,34% 0,0777%
3 0,51% 0,0840%
4 0,68% 0,0939%
5 0,85% 0,1073%
6 1,02% 0,1242%
7 1,19% 0,1447%
8 1,36% 0,1688%
9 1,53% 0,1964%
10 1,70% 0,2275%
А вот и все результаты модели
Доходность портфеля= 3,00%
Риск портфеля= 0,23%
Количество денег= 150 000
Эффективный портфель
Компания Доля (%) Доля ($) Количество акций Позиция
APPLE 114,3% 171 517 558 long
CITI GROUP -9,8% -14 635 -3 561 short
GENERAL ELECTRIC -124,8% -187 202 -11 660 short
EXXON MOBIL 120,2% 180 320 2 718 long